熱2形式とシンプレクティック形式との類似性

最大エントロピー過程のエネルギー収支の式

$dE=TdS+\sum_iP_idX_i$

を外微分すると

$0=dT\wedge dS+\sum_idP_i\wedge dX_i$

となる。左辺の0はループ曲線の過程において一周した後エネルギーが増加しない（同じ状態なので自明だが）ということを意味する。右辺の各項をループで囲まれた部分の領域で積分すると、ストークスの定理からそれぞれの形でのエネルギーの収支が計算できる。

$\omega_{H}\equiv dT\wedge dS=d\theta_H$ を熱2形式と呼ぶ。これはハミルトニアンのパラメーターの変換とは無関係なのでそれの下で不変である。

$\omega_H=\sum_idX_i\wedge dP_i$

なのでこれがシンプレクティック形式で、X,Pがダルブー座標であるかのように見える。

だが、i=1,2,...nのnが偶数のとき多様体の次元が偶数ではないので、少なくともシンプレクティック多様体でない場合がある。けれども、シンプレクティック多様体との類似性を確認していくことにする。

もう一度

$dE=TdS+\sum_iP_idX_i$

に戻り、正準1形式θを

$\theta=dE-TdS=\sum_iP_idX_i$

と定義すると、確かに

$-d\theta=\sum_idX_i\wedge dP_i=\omega_H$

である。

また、 $\theta$ だけでなく、 $-\theta_H$ も $-d(-\theta_H)=\omega_H$ なのでシンプレクティックポテンシャルであるように見える。

以後、アインシュタインの縮約記法を用いて、

$\omega_H=dX^i\wedge dP_i$

と書くことにする。

物理的宇宙