←複素解析 留数定理と留数 留数を求める公式1 留数を求める公式2 留数定理と留数 孤立特異点cにおけるローラン展開 を用いて、この点を反時計回りで回る周回積分Cを考える。 z^nの積分はn=-1以外0であり、n=-1の場合は2πiであるから である。当然、もしcを反…

←複素解析 複素関数のテイラー展開 複素関数のローラン展開 複素関数のテイラー展開 複素関数の整数冪指数の微分と積分についてはすでに計算した。 z^n(n=0,1,2,3,...)については実関数と全く同じように微積分できることがわかった。 そこで複素関数でも実関…

←複素解析 整数冪指数の冪乗の微分と積分について整理する。 微分 nが正であり特異点がない場合 n=0の場合 nが負であり特異点がある場合 線積分 nが非負であり特異点がない場合 nが負であり特異点がある場合 1/zの線積分 整数nに対して という関数の微分と積…

←複素解析 コーシーの積分定理Ⅰ（正則関数の周回積分） 証明 コーシーの積分定理Ⅱ（正則関数の線積分の経路無依存性） 証明 複素解析における微分積分学の基本定理タイプ1 証明 コーシーの積分定理Ⅲ（複素解析における微分積分学の基本定理タイプ2） 証明 三…

←複素解析 複素ストークスの定理、あるいは複素グリーンの定理と呼べるような定理を証明します。 複素ストークスの定理 証明 複素ストークスの定理 Cを複素平面(ガウス平面)上の閉曲線、D(C)をCが囲む領域とする。 ただし、Cが時計回りの場合は、D(C)の向き…

←複素解析 複素線積分の定義を確認します。加えて、複素面積分というものも定義してみます。 複素線積分の定義 複素面積分の定義 複素線積分の定義 複素平面(ガウス平面)上のパラメータtで表された始点t=aと終点t=bのある曲線Cに沿った線積分は、そのパラメ…

←複素解析 複素関数の正則性について議論します。 微分可能の定義 正則関数の定義 正則関数の条件 証明 コーシーリーマンの方程式 実部虚部による表現 ラプラス方程式を満たすこと ウィルティンガー微分によるディーバー方程式 正則関数の導関数 ナブラ演算…

←複素解析 複素ナブラの定義 共役ナブラ 複素ナブラの作用 勾配 発散 回転 ラプラシアン 複素ナブラの性質 線形性 積の微分法 二つのナブラの演算 回転、発散を勾配と共役勾配、fとfの共役で表す ウィルティンガー微分との関係 ベクトル解析でナブラ演算子と…

←ホーム 科学の定義 仮説演繹法と反証可能性 オッカムの剃刀 自然の斉一性 物理とは何か 物理学の定義とそのカバー領域 物理と化学の境界線は妥当か 物理法則とは何か 物理における数学の有効性とその理由 物理において仮定されること 局所性 実在性 因果律 …

←確率・統計と情報 確率変数の定義 定義 確率変数の演算 確率関数と確率密度関数 確率変数の定義 定義 確率変数とは、標本空間から実数などの数への写像(関数)のことである。 だが普通は標本空間をある試行を行ったというの条件のもとに限定しているので、以…

←確率・情報と統計 標準的確率の公理 コルモゴロフによる確率の公理は以下のようなものである。 根元事象の集合を標本空間といい、この標本空間の部分集合を要素とする集合族をとする。の要素を事象という。 は集合体である の各集合Aに、非負実数P(A)が定め…

←量子論 量子相対エントロピーの定義と性質について。 量子相対エントロピーの定義 量子相対エントロピーと古典相対エントロピーの関係 証明 量子相対エントロピーの非負性 証明 量子相対エントロピーとフォンノイマンエントロピーの変化 証明 情報利得とし…

←熱力学と統計力学 絶対零度の定義 絶対零度ならば基底エネルギー 絶対零度の状態 絶対零度の存在 絶対零度と基底状態、基底エネルギーの関係について議論しました。 絶対零度の定義 絶対零度とは温度Tが0となる状態のことである。 絶対零度ならば基底エネル…

←熱力学と統計力学 フォンノイマンエントロピーの定義と性質を調べます。 フォンノイマンエントロピーの定義 フォンノイマンエントロピーの性質 フォンノイマンエントロピーの定義 密度演算子の状態のフォンノイマンエントロピーは ただしここでは都合上ボル…

←熱力学と統計力学 カルノーの定理を証明します。 カルノーの定理 カルノーサイクル カルノーの定理 熱機関の最大の熱効率は で表される。はそれぞれ熱浴の最低、最高温度である。 【証明】 熱機関は C： と表現できる。ただしは断熱過程であり、はそれぞれ…

←熱力学と統計力学 熱機関と熱効率の定義について説明します。 熱機関の定義 熱効率の定義 熱機関の定義 系がいくつかの熱浴i=1,2,...nと純粋な熱的接触を行う以外は常に断熱過程のみを経て、同じ熱力学的状態に戻っていく過程を熱機関という。 熱効率の定義…

←熱力学と統計力学 カラテオドリの原理とエントロピー増大則の関係を確認します。 カラテオドリの原理 証明 例外 カラテオドリの原理 任意の熱力学的状態に対して、その状態からの断熱過程によっては到達できない近傍の状態存在する。 証明 これは熱力学第二…

←熱力学と統計力学 クラウジウスの不等式を証明します。 クラウジウスの不等式 証明 クラウジウスの不等式 系がいくつかの熱浴i=1,2,...nと純粋な熱的接触を行う以外は常に断熱過程のみを経て、同じ熱力学的状態に戻っていく過程(熱機関の過程)を考えると、 …

←熱力学と統計力学 第一種永久機関 定義 存在しないことの証明 第二種永久機関 定義 存在しないことの証明 クラウジウスの不等式による証明 永久機関の2種類の定義を説明し、それらが存在しないことを証明します。 第一種永久機関 定義 第一種永久機関とは、…

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←ホーム 物理法則とは何か 物理理論=数理モデル+解釈 客観性 因果律 局所性 マッハの原理 物理学はなぜ数学的に記述できるのか？

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ベクトル空間 ベクトル空間の公理 基底と次元 成分表示 双対空間とテンソル 双対空間とテンソル 双対空間 線型写像とテンソル ベクトル、双対ベクトルと線形演算子 線形演算子の定義と、(1,1)テンソルとの同一視 線形演算子のランク 逆演算子と正則な線形演…

←量子論 ブラとケットの対応関係 エルミート共役 性質 共役関係と内積 定義 ブラとケットの対応関係 もしベクトル空間が有限次元なら、その元と双対空間の元(双対ベクトル)が全単射で対応させられる。無限次元なら、との濃度が一致するとは限らないので、対…

←量子論 複素ベクトル空間 線型汎函数 線型演算子 ブラとケットによる線形演算子 ブラケット記法を定義する。ブラケット記法の精神を尊重して、ベクトル空間にはじめから内積構造を与えるのではなく、双対構造から出発する。 複素ベクトル空間 複素ベクトル…

←ホーム ニュートン力学以前 ガリレオの思考実験 基本原理 時間、空間と運動する質点 ニュートンの運動の三法則 質量が変化する場合の運動方程式 ガリレイの相対性原理 ラプラスの悪魔 保存則 質量 運動量 運動量保存則の導出 自己力は0 エネルギー 運動エネ…

←熱力学と統計力学 熱浴の定義 熱浴の性質 熱浴との純粋な熱的接触とエントロピー変化 熱浴の定義 ハミルトニアンが という条件を満たす時、そのようなハミルトニアンの系を熱浴と呼ぶことにする。 は定数である。つまり、温度 がエネルギーによらない。 こ…

←量子論 密度演算子の定義 密度演算子の数学的性質 エルミート性 トレース 二乗トレース 対角成分 密度演算子の純粋状態への分解の非一意性 密度演算子の直交分解の一意性 密度演算子の定義 純粋状態が確率で含まれているアンサンブルを混合状態という。ただ…

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