物理的宇宙

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三つのコーシーの積分定理

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三つのコーシーの積分定理をまとめました。

コーシーの積分定理Ⅰ（正則関数の周回積分）

ガウス平面上で閉曲線Cの囲む領域をD(C)とする。D(C)上で複素関数fが正則ならば、

\oint_Cf(z)dz=0

証明

fはD(C)上で正則だから、D(C)上でコーシーリーマンの方程式

\nabla f=0

を満たす。ゆえに複素ストークスの定理より、

\oint_Cf(z)dz=i\int\int_{D(C)}\nabla fdS=0

 

あるいはf(z)dzを微分形式と見ると、正則関数はdf=f'dzと書けるので、ストークスの定理から

\oint_{C=\partial D}fdz=\int_Dd(f(z)dz)=\int_Ddf\wedge dz=\int_Df'dz\wedge dz=0

コーシーの積分定理Ⅱ（正則関数の線積分の経路無依存性）

複素関数fがガウス平面上で正則な場合、fの複素線積分は視点と終点で決まる。

ゆえに、曲線Cの視点と終点がz_1,z_2の時

\int_Cf(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz

と書ける。

証明

視点と終点が同じz_1,z_2の任意の経路C_1,C_2についてC_2を逆走する経路を-C_2とすると、C_1の終点とC_2の視点およびC_2の終点とC_1の視点は一致しているから、これらを順番につなげることで閉曲線を作れる。この閉曲線をC_3とすると、

\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{-C_2}f(z)dz=\oint_{C_3}f(z)dz=0

ただし最後の等号にはコーシーの積分定理Ⅰを用いた。

ゆえに

\int_{C_1}f(z)dz=\int_{C_2}f(z)dz

なので経路によらず積分の値が一致する。

複素解析における微分積分学の基本定理タイプ1

正則関数fに対して

\frac{d}{dz}\int_{z_0}^zf(z')dz'=f(z)

証明

d\int_{z_0}^zf(z')dz'\\=\int_{z_0}^{z+dz}f(z')dz'-\int_{z_0}^zf(z')dz'\\=\int_z^{z+dz}f(z')dz'\\=f(z)dz

ゆえに

\frac{d}{dz}\int_{z_0}^zf(z')dz'=f(z)

コーシーの積分定理Ⅲ（複素解析における微分積分学の基本定理タイプ2）

正則な複素関数fに対して、

\frac{dF(z)}{dz}=f(z)

を満たすFが存在し、これを原始関数という。

Fによってfの線積分は

\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)

と表せる。

証明

任意のz_０を選んで

F(z)=\int_{z_0}^zf(z)dz

とすれば良い。すると

\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz=\int_{z_0}^{z_2}f(z)dz-\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)

であり

前節の定理から

\frac{dF(z)}{dz}=f(z)

である。