物理的宇宙

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複素関数の正則性について

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複素関数の正則性について議論します。

微分可能の定義

複素関数fが点zで微分可能であるとは、極限

\underset{h\to 0}{\lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

が存在することである。

正則関数の定義

複素関数fが正則である条件は、複素数平面（ガウス平面）上全ての点でfが微分可能であることである。

正則関数の条件

複素関数fが正則関数である条件は、

f_x,f_yが微分可能であり、\nabla f=0であることである。

ただし、引数zを実数x,yで表した時、f_x(x,y)=Ref(x+iy),f_y(x,y)=Ref(x+iy)であるとする。ここで、ナブラは、複素関数に対するナブラ演算子である。

証明

厳密な証明ではなく記憶法的な導出を述べる。関数fが正則関数なら、導関数f'が存在して、zの微小変化dzに対し

f(z+dz)-f(z)=df(z)=f'(z)dz

と書けるはずである。

この微小変化を実数微小変化dx,dyで

dz=dx+idy

と書くと、

df(z)=f'(z)dz=f'(z)(dx+idy)

であると同時に

df(z)=f(z+dz)-f(z)=f(z+dx+idy)-f(z)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy

である。この二式は、dx,dyが微小であれば任意の場合に成立する。このため、dx,dyの係数を二式で比較することによって、

f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}...①

if'(z)=\frac{\partial f}{\partial y}...②

ゆえに、

\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}=0

これは

\nabla f=0

と書ける。

逆に、この方程式を満たして、かつf_x,f_yが微分可能な時、①によって微分係数を計算すれば、それは微分の定義を満たしており、従って正則関数であるということが示せるはずである（それは省略する）。

コーシーリーマンの方程式

実部虚部による表現

\nabla f=0を成分で書くと、

\frac{\partial f_x}{\partial x}-\frac{\partial f_y}{\partial y}+i\frac{\partial f_y}{\partial x}+i\frac{\partial f_x}{\partial y}=0

左辺の実部虚部が両方ゼロであることから

\frac{\partial f_x}{\partial x}=\frac{\partial f_y}{\partial y}

\frac{\partial f_y}{\partial x}+\frac{\partial f_x}{\partial y}=0

の二式が得られる。これをコーシーリーマンの方程式という。

ラプラス方程式を満たすこと

コーシーリーマンの方程式はラプラス方程式を満たすことが知られているが、これはナブラ演算子の表現

\nabla f=0

に共役ナブラを作用させることで、

\Delta f=\bar{\nabla}\nabla f=0

であるからすぐにわかる。これが複素ナブラ記号の威力である。

f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)

と書くと、

\Delta f=0

の実部と虚部がそれぞれ0であることから、

\Delta u=0

\Delta v=0

すなわちfだけでなくfの実部と虚部それぞれがラプラス方程式を満たす。

ウィルティンガー微分によるディーバー方程式

ナブラ記号はウィルティンガー微分によっても表せるから、コーシーリーマンの方程式は

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0

と表せる（ディーバー方程式）。

正則関数の導関数

ナブラ演算子による表現

正則関数の導関数をナブラ記号で表してみます。

①、②

f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}...①

f'(z)=-i\frac{\partial f}{\partial y}...②

をわざとらしく1/2ずつミックスすると、

f'(z)=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{1}{2}\bar{\nabla}f...③

となります。またナブラ演算子により簡潔に表すことができました。

ウィルティンガー微分による表現

ウィルティンガー微分で③を表すと

f'(z)=\frac{\partial f}{\partial z}

となります。

正則関数が無限回微分可能であることの証明

正則関数は無限回微分可能である。このことを示すには、正則関数の導関数が正則関数であることを示せばよい。

fが正則関数のとき導関数f'は

f'=\frac{1}{2}\bar{\nabla}f

である。このf'も

\nabla f'=\nabla\frac{1}{2}\bar{\nabla}f=\frac{1}{2}\bar{\nabla}\nabla f=0

だから確かに正則である。このように、ナブラ記号を使うことで重要な性質が一瞬で導ける。

微分可能性について

二つの複素関数f,gがz=z_0において微分可能なら、f+gやfgもこの点において微分可能であり、微分のルールは実関数の場合と同じである。つまり

(f(z_0)+g(z_0))'=f'(z_0)+g'(z_0)...④

(f(z_0)g(z_0))'=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)...⑤

微分可能であることの証明は、コーシーリーマンの方程式

\nabla f=0

から、④、⑤はすぐにわかる。公式の証明も、微分のナブラ演算子による表現

\frac{d}{dz}=\frac{1}{2}\bar{\nabla}

から簡単に示すことができる。

 

f,gが正則な場合、合成関数f○gも正則であり

\frac{df(g(z))}{dz}=\frac{df(g(z))}{dz}\frac{dg(z)}{dz}...⑥

である。これも、コーシーリーマンの方程式から、

\nabla f(g(z))\\=\frac{\partial f(g(z))}{\partial x}+i\frac{\partial f(g(z))}{\partial y}\\=\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}\frac{\partial g_x(z)}{\partial x}+\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}\frac{\partial g_y(z)}{\partial x}+i\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}\frac{\partial g_x(z)}{\partial y}+i\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}\frac{\partial g_y(z)}{\partial y}\\=\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}(\frac{\partial g_x(z)}{\partial x}+i\frac{\partial g_x(z)}{\partial y})+\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}(\frac{\partial g_y(z)}{\partial x}+i\frac{\partial g_y(z)}{\partial y})\\=\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}\nabla g_x+\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}\nabla g_y\\=0

なので、正則であり、合成関数の微分法は

\frac{df(g(z))}{dz}\\=\frac{1}{2}\bar{\nabla}f(g(z))\\=\frac{1}{2}(\frac{\partial f(g(z))}{\partial x}-i\frac{\partial f(g(z))}{\partial y})\\=\frac{1}{2}(\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}\frac{\partial g_x(z)}{\partial x}+\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}\frac{\partial g_y(z)}{\partial x}-i\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}\frac{\partial g_x(z)}{\partial y}-i\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}\frac{\partial g_y(z)}{\partial y})\\=\frac{1}{2}( (\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}-i\frac{\partial f(g)}{\partial g_y})\frac{\partial g_x(z)}{\partial x}+(\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}+i\frac{\partial f(g)}{\partial g_x})\frac{\partial g_y(z)}{\partial x})(コーシーリーマンの方程式)\\=\frac{1}{2}( (\frac{\partial f(g)}{\partial g_x}-i\frac{\partial f(g)}{\partial g_y})\frac{\partial g_x(z)}{\partial x}+(-i\frac{\partial f(g)}{\partial g_y}+\frac{\partial f(g)}{\partial g_x})i\frac{\partial g_y(z)}{\partial x})\\=(\bar{\nabla}_g)(f(g))\frac{\partial g}{\partial x}\\=f'(g(z))g'(z)