複素線積分と複素面積分の定義

複素線積分の定義を確認します。加えて、複素面積分というものも定義してみます。

複素平面(ガウス平面)上のパラメータtで表された始点t=aと終点t=bのある曲線Cに沿った線積分は、そのパラメタ表示をz(t)と表すと、以下のように定義される。

$\int_Cf(z)dz\equiv\int_a^bRe(f(z)\frac{dz}{dt})dt+i\int_a^bIm(f(z)\frac{dz}{dt})dt$

これは単に形式的な変形をして実数積分に帰着させただけです。ReとImを使うことで実数関数だけの計算に帰着させています。

引数zを実数x,yでz=x+iyと表すことで、複素関数fを $f(x,y)=f(x+iy)$ と表す。

複素平面(ガウス平面)上の領域Dによるfの複素面積分を

$\int_Df(z)dS\equiv\int\int_DRef(x,y)dxdy+i\int\int Imf(z)dxdy$

というように実数の二重積分で定義する。

これはdS=dxdyという気持ちです。これも実数積分に帰着させています。

物理的宇宙