複素関数のテイラー展開とローラン展開

z^n(n=0,1,2,3,...)については実関数と全く同じように微積分できることがわかった。

そこで複素関数でも実関数と同じようにテイラー展開を行うことができると期待できる。

特にある領域で正則な場合、その中の点cでは無限回微分可能なので、

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{n}(c)}{n!}(z-c)^n$

と表すことができるはずである。

特異点cがあるが、特異点の周りでは正則であるという場合を考える。

このような特異点を孤立特異点という。

そのような場合f(c)が無限大になってしまうという場合が多い。

そこで、テイラー展開にz=cで無限大となる項をテイラー展開に加えれば良いのではないかと考える。最も自然なのは負冪の項

$\frac{1}{(z-c)^n}$

を追加することだ。

そこで

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-c)^n$

という展開を考える。このような展開をローラン展開という。aでテイラー展開可能なら、n<-1の項は0となる。この負べきの項を主要項という。孤立特異点はローラン展開できるということを仮定する。

物理的宇宙