物理的宇宙

物理学を自分なりに再構成することを目指すブログです

カルノーの定理とカルノーサイクル

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カルノーの定理を証明します。

カルノーの定理

熱機関の最大の熱効率は

e=1-\frac{T_L}{T_H}

で表される。T_L,T_Hはそれぞれ熱浴の最低、最高温度である。

【証明】

熱機関は

C：S_0\xrightarrow{A_1}S_{1'}\xrightarrow{H_1}S_1\xrightarrow{A_2}S_{2'}\xrightarrow{H_2}S_2\xrightarrow{A_3} ...\xrightarrow{A_n}S_{n'}\xrightarrow{H_n}S_n=S_0

と表現できる。ただし\{A_i\}_{i=1,2,...n}は断熱過程であり、\{H_i\}_{i=1,2,...n}はそれぞれ温度\{T_i\}_{i=1,2,...n}の熱浴との純粋な熱的接触である。H→A→H→A...というパターンもあるが、初期状態の位置をずらせば同じサイクルをこのパターンと同じ表現にすることができ、一般性を失わない。

 

まずエネルギー収支を考える。

A_iにおける外界にした断熱仕事をW_{i,した}と書く。

H_iにおける熱浴からもらった熱エネルギーをQ_iと書く。これが負の場合は、熱浴にエネルギーを渡した場合である。熱効率を考える上で、吸熱と発熱を区別する必要がある。そこで、Q_iが正となるようなiの集合を（吸熱）と書く。それ以外の集合を(発熱)と書くことにする。すると熱効率は

e\equiv\frac{W_{した}}{Q_{吸熱のみ}}=\frac{Q}{Q_{吸熱のみ}}=1-\frac{Q_{発熱のみ}}{Q_{吸熱のみ}}...＊

である。ただし、

W_{した}\equiv\sum_iW_{i,した}

Q\equiv\sum_iQ_i

Q_{吸熱のみ}\equiv\sum_{i\in(吸熱)}Q_i

Q_{発熱のみ}\equiv\sum_{i\in(発熱)}|Q_i|=-\sum_{i\in(発熱)}Q_i

と定義し、系の一周のエネルギー収支から、

W_{した}=Q=Q_{吸熱のみ}-Q_{発熱のみ}

であることを用いた。

 

ところで、クラウジウスの不等式より、

\sum_i\frac{Q_i}{T_i}\leq 0

である。

従って、

\sum_{i\in(吸熱)}\frac{Q_i}{T_i}+\sum_{i\in(発熱)}\frac{Q_i}{T_i}\leq 0

\sum_{i\in(吸熱)}\frac{Q_i}{T_i}\leq \sum_{i\in(発熱)}\frac{-Q_i}{T_i}...①

左辺に注目すると、T_Hが最大の温度であることから、

\frac{Q_{吸熱のみ}}{T_H}=\frac{\sum_{i/in(吸熱)}Q_i}{T_H}\leq\sum_{i\in(吸熱)}\frac{Q_i}{T_i}...②

右辺に注目すると、T_Lが最小の温度であることから、

\frac{Q_{発熱のみ}}{T_L}=\frac{-\sum_{i\in(発熱)}Q_i}{T_L}\geq\sum_{i\in(発熱)}\frac{-Q_i}{T_i}...③

①、②、③を組み合わせると、

\frac{Q_{吸熱のみ}}{T_H}\leq\sum_{i\in(吸熱)}\frac{Q_i}{T_i}\leq \sum_{i\in(発熱)}\frac{-Q_i}{T_i}\leq\frac{Q_{発熱のみ}}{T_L}

\frac{Q_{吸熱のみ}}{T_H}\leq\frac{Q_{発熱のみ}}{T_L}

\frac{T_L}{T_H}\leq\frac{Q_{発熱のみ}}{Q_{吸熱のみ}}

これを＊に対して適用すると、確かに、

e\leq 1-\frac{T_L}{T_H}...④

である。系がどのような物質かによらず、熱浴として使う最大温度と最低温度の比によってのみ最大熱効率が与えられることになる。

カルノーサイクル

実際に

e=1-\frac{T_L}{T_H}

となる熱機関が理想的には存在しうる。これをカルノーサイクルという。

カルノーサイクルでは、温度がT_L,T_Hの二つの熱源のみを使う。T_Lとの純粋な熱的接触では発熱し、T_Hでは吸熱する。すると、②、③は等号成立する。二つの熱的接触の間には、断熱過程を挟むが、この時非常にゆっくりと変化させることで、エントロピーが変化しないようにする*1。すると、純粋な熱的接触中のエントロピー変化の合計であるクラウジウスの不等式の等号が成立する*2ことにより、①が等号成立する。従って、④も等号が成立する。

*1:最大エントロピー状態をミクロカノニカル分布で近似できる場合は、断熱定理より、十分ゆっくり変化させればエントロピーを変化させないようにできる

*2:ただし、熱浴との接触によって変化するエントロピー△S\geq\frac{Q}{T}についても等号が成り立っていると仮定する。