物理的宇宙

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フォンノイマンエントロピーの定義と性質

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フォンノイマンエントロピーの定義と性質を調べます。

フォンノイマンエントロピーの定義

密度演算子\hat{\rho}の状態のフォンノイマンエントロピーは

S_{VN}(\hat{\rho})\equiv-k_BTr(\hat{\rho}\ln\hat{\rho})

ただしここでは都合上ボルツマン定数によって熱力学的エントロピーと単位をそろえた。

フォンノイマンエントロピーの性質

【証明】

①直交する状態\{\hat{P}_i\}_iによって

\hat{\rho}=\sum_ip_i\hat{P}_iと書くと、アンサンブルとしては\{\hat{P}_i,p_i\}_iであり、

S_{VN}(\hat{\rho})\equiv-k_BTr(\hat{\rho}\ln\hat{\rho})=-k_BTr(\sum_ip_i\ln p_i\hat{P}_i)=-k_B\sum_ip_i\ln p_iだから、確かにシャノンエントロピーのボルツマン定数倍である。

②、③

①から明らかである。

④\hat{\rho}=\sum_ip_i\hat{P}_iをユニタリ変換すると

\hat{U}\hat{\rho}\hat{U}^{\dagger}=\sum_ip_i\hat{Q}_iと書ける。直交する状態\{\hat{Q}_i\}_iは異なるが、\{p_i\}_iは変わらないので、①より、シャノンエントロピーが変化せずフォンノイマンエントロピーも変化しない。

⑤直交する状態によるスペクトル分解を

\hat{\rho}_A=\sum_ip_{A,i}\hat{P}_{A,i}

\hat{\rho}_B=\sum_ip_{B,i}\hat{P}_{B,i}

と書くと、

\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B=\sum_i\sum_jp_{A,i}p_{B,j}\hat{P}_{A,i}\otimes\hat{P_{B,j}}

すると\{\hat{P}_{A,i}\otimes\hat{P_{B,j}}\}_{i,j}は合成系における互いに直交する状態であり、確率分布が\{p_{A,i}p_{B,j}\}_{i,j}なので、①から、

S_{VN}(\hat{\rho}_A\otimes\hat{\rho}_B)\\=-k_B\sum_i\sum_jp_{A,i}p_{B,j}\ln(p_{A,i}p_{B,j})\\=-k_B\sum_i\sum_jp_{A,i}p_{B,j}(\ln p_{A,i}+\ln p_{B,j}\\=-k_B\sum_ip_{A,i}\ln p_{A,i}\sum_jp_{B,j}-k_B\sum_ip_{A,i}\sum_jp_{B,j}\ln p_{B,j}\\=-k_B\sum_ip_{A,i}\ln p_{A,i}-k_B\sum_jp_{B,j}\ln p_{B,j}\\=S_{VN}(\hat{\rho}_A)+S_{VN}(\hat{\rho}_B)

⑥準備中