確率変数の定義と確率分布、確率密度関数

確率変数とは、標本空間から実数などの数への写像(関数)のことである。

だが普通は標本空間をある試行を行ったというの条件 $C$ のもとに限定しているので、以降このような事象Cから数への写像として確率変数を考える。

以降、なるべく確率変数を大文字で表して、普通の数を小文字で表すことにする。

普通の数についての関数fを使って、確率変数Xに対して、

$Y(\omega)=f(X(\omega))$ （任意の $\omega\in C$ について）

という新たな確率変数を定義できる。これを

$Y=f(X)$

と表現することにする。

同じCについての確率変数X,Y同士でも2変数関数fを使って

$Z(\omega)=f(X(\omega),Y(\omega))$ （任意の $\omega\in C$ について）

であるZを

$Z=f(X,Y)$

と表す。n変数についても同様に表せる。

確率変数Xが値 $X(\omega)=x$ となるような根元事象 $\omega$ の集合、つまり事象を略記法として $X=x$ と表すことにする。

$p_X(x)=P(X=x|C)(=\frac{P(X=x|C)}{P(C)})$

という関数 $p_X$ を、確率変数Xの確率関数という。

ここで、Cが連続な空間の場合などは、この関数が常に0になってしまう。

確率密度関数はそういう場合に役に立つ。

確率変数Xに少し幅を持たせ、値 $x\leq X(\omega)\leq x+dx$ となるような根元事象 $\omega$ の集合、つまり事象を略記法として $x=x〜dx$ と表すことにする。

$p_X(x)dx=P(X=x〜x+dx|C)(=\frac{P(X=x〜x+dx|C)}{P(C)})$

という関数 $p_X$ を、確率変数Xの確率密度関数という。

異なる確率変数の事象は背反だから、確率密度関数を積分すると、その範囲の確率が得られる。

$P(X=x_1〜x_2|C)=\int_{x_1}^{x_2}p_X(x)dx$

物理的宇宙