物理的宇宙

物理学を自分なりに再構成することを目指すブログです

熱力学第一法則の証明

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熱力学第一法則を量子論から示します。

熱力学第一法則

孤立過程において系のエネルギーは保存される。

証明

初期状態を\hat{\rho}_{ini}とし、時間変化しないハミルトニアン\hat{H}の下で時間tだけ時間発展させることを考える。すると最大エントロピー状態とみなす前の終状態の密度演算子はフォンノイマン方程式から

\hat{\rho}_{fin'}=\exp(-i\frac{t\hat{H}}{\hbar})\hat{\rho_{ini}}\exp(i\frac{t\hat{H}}{\hbar})

なのでエネルギー期待値は

E_{fin}\\=Tr(\hat{\rho}_{fin'}\hat{H})\\=Tr(\exp(-i\frac{t\hat{H}}{\hbar})\hat{\rho_{ini}}\exp(i\frac{t\hat{H}}{\hbar})\hat{H})\\=Tr(\hat{\rho_{ini}}\exp(i\frac{t\hat{H}}{\hbar})\hat{H}\exp(-i\frac{t\hat{H}}{\hbar}))\\=Tr(\hat{\rho_{ini}}\hat{H})\\=E_{ini}

となり、系の熱力学的エネルギーは孤立過程で変化しない。