温度の定義

温度の定義について説明します。

熱力学的状態 $(\hat{H},E)$ に対して熱力学的エントロピー $S_{th}(\hat{H},E)$ がボルツマンの原理により定まる。 $S_{th}(\hat{H},E)$ をハミルトニアンを変化せずにEで微分することにより、温度の逆数が

$\frac{1}{T}\equiv\frac{\partial S_{th}(\hat{H},E)}{\partial E}\gt 0$

と定義される。ここでエネルギーとエントロピーの基本的な関係から右辺が正であることが保証される。

ハミルトニアンを変化させないという気持ちを含めて偏微分の記号を用いた。熱力学において体積や粒子数などの示量変数はハミルトニアンのパラメータとみなされるから、これらを変化させないという意味でもある。熱力学的状態に対して温度が曖昧さなく定義された。

温度はエネルギーのエントロピー微分からも

$T=\frac{\partial E(\hat{H},S)}{\partial S}$

により計算できる

エントロピーについて温度は広義増加関数である。(故にエネルギーについても同様。)

$\frac{\partial T(\hat{H},S)}{\partial S}=\frac{\partial^2 E(\hat{H},S)}{\partial S^2}\geq 0$